Valós és funkcionálanalízis

Tartalomjegyzék
Bevezető 1
1. Lebesgue integrál 11
      1.1. Mérhetőségi tér. 11
      1.2. Topologikus tér. 13
      1.3. Mérhető függvények. 15
      1.4. Mértéktér. 20
      1.5. Egyszerű függvények. 23
      1.6. Pozitív függvény integrálja. 25
      1.7. Komplex függvény integrálja. 32
      1.8. Nulla mértékű halmazok. 37
      1.9. Feladatok. 42
2. Mértékek kiterjesztése 47
      2.1. Halmazrendszerek. 47
      2.2. Kiterjesztés algebrára. 50
      2.3. Kiterjesztés szigma-algebrára. 51
      2.4. A kiterjesztett mérték teljessége. 57
      2.5. Feladatok. 59
3. Mértékek Rk-ban 61
      3.1. Borel halmazok Rk-ban. 61
      3.2. Eloszlásfüggvény. 65
      3.3. Lebesgue-Stieltjes mérték és integrál. 69
      3.4. Pozitív változású függvények. 74
      3.5. Lebesgue mérték. 81
      3.6. A Riemann integrálhatóság jellemzése. 88
      3.7. Feladatok. 92
4. Regularitás 97
      4.1. Topológiai alapfogalmak. 97
      4.2. Regularitási feltételek. 105
      4.3. Approximáció folytonos függvényekkel. 110
      4.4. Feladatok. 112
5. Mértékterek szorzata 115
      5.1. Két mértéktér szorzata. 115
      5.2. Ismételt integrálok. 121
      5.3. Véges sok mértéktér szorzata. 126
      5.4. Végtelen sok valószínűségi mértéktér szorzata. 131
      5.5. Feladatok. 138
6. Függvényterek 141
      6.1. Egyenlőtlenségek. 141
      6.2. Lp terek. 146
      6.3. Banach tér. 153
      6.4. Hilbert tér. 160
      6.5. Feladatok. 167
7. Abszolút folytonosság és szingularitás 171
      7.1. Komplex mértékek. 171
      7.2. Két mérték kapcsolata. 177
      7.3. A Lebesgue mérték szerinti derivált. 189
      7.4. Feladatok. 196
8. Komplex Borel mértékek az egyenesen 199
      8.1. Korlátos változású függvények. 199
      8.2. Abszolút folytonos és szinguláris függvények. 204
      8.3. Integrálási szabályok. 213
      8.4. Feladatok. 217
9. Ortonormált rendszerek, Fourier sorok 221
      9.1. Ortonormált vektorrendszerek. 221
      9.2. A trigonometrikus rendszer. 227
      9.3. Fourier sor konvergenciája. 232
      9.4. Fourier sor Cesaro összegzése. 235
      9.5. Fourier sor Abel összegzése. 240
      9.6. Feladatok. 247
10. Lineáris funkcionálok kiterjesztése 251
      10.1. Hahn--Banach Tétel. 251
      10.2. Banach limesz. 257
      10.3. Banach integrál és mérték. 261
      10.4. Feladatok. 267
11. Banach tér teljességének következményei 269
      11.1. Egyenletes korlátosság. 269
      11.2. Folytonos függvények Fourier sora. 271
      11.3. Nyílt leképezések. 274
      11.4. Lineáris transzformáció gráfja. 279
      11.5. Feladatok. 281
12. Lp terek duálisai 283
      12.1. A duális tér azonosítása. 283
      12.2. Banach térbeli adjungált. 291
      12.3. Reflexivitás. 293
      12.4. Diszkrét mértékek. 295
      12.5. Feladatok. 297
13. Folytonos függvények terének duálisa 301
      13.1. Reguláris komplex mértékek. 301
      13.2. Pozitív lineáris funkcionálok előállítása. 308
      13.3. Korlátos lineáris funkcionálok előállítása. 318
      13.4. Feladatok. 323
14. Gyenge topológiák és approximáció 327
      14.1. Gyenge topológiák. 327
      14.2. Extremális pontok. 332
      14.3. Borel mérték tartója. 335
      14.4. Approximáció. 336
      14.5. Feladatok. 341
Irodalomjegyzék 345
Jelölések 347
Név- és tárgymutató 351