Kérchy László

Bevezetés a véges dimenzós vektorterek elméletébe

Bevezetés
I. Alapfogalmak
   1. Halmazok, relációk, leképezések
      1.1. Halmazok
      1.2. Relációk
      1.3. Leképezések
      1.4. Megjegyzés
   2. Valós és komplex számok
      2.1. Bevezetés
      2.2. Valós számok
      2.3. A komplex számtest
      2.4. Kanonikus alak, konjugálás
      2.5. Trigonometrikus alak
      2.6. Műveletek és a komplex számsík transzformációi
II. Polinomgyűrűk, oszthatóság
   1. Polinomgyűrűk
      1.1. A polinomgyűrűk fogalma
      1.2. Polinomok fokszáma
   2. Oszthatóság
      2.1. Gauss félcsoportok
      2.2. A Gauss félcsoportok jellemzése
      2.3. Legnagyobb közös osztó
   3. Gauss gyűrűk
      3.1. Főideál-gyűrűk
      3.2. Euklideszi gyűrűk
   4. Irreducibilis elemek
      4.1. Prímszámok
      4.2. Irreducibilis polinomok
   5. Törtek
      5.1. Kommutatív integritás-tartomány testté való bővítése
      5.2. Törtpolinomok elemi törtekre való bontása
III. A vektorterekkel kapcsolatos alapvető fogalmak
   1. Vektorterek
      1.1. A vektortér fogalma, lineáris függetlenség
      1.2. Véges dimenziós vektorterek, bázis, dimenzió
   2. Alterek
      2.1. Az altér fogalma
      2.2. Alterek közti műveletek
      2.3. Vektortér altérhálója
      2.4. Alterek direkt összege
      2.5. Faktortér
   3. Duális tér
      3.1. Lineáris funkcionálok, duális tér
      3.2. Duális bázis
      3.3. Reflexivitás
      3.4. Annullátorok
   4. Lineáris transzformációk
      4.1. A lineáris transzformációk fogalma, műveletek
      4.2. Transzformációk rangja és nullitása
      4.3. Lineáris transzformáció adjungáltja
      4.4. Invariáns alterek
IV. Tenzori és külső szorzatok
   1. Tenzori szorzat
      1.1. Két vektortér tenzori szorzata
      1.2. A tenzori szorzat dimenziója
      1.3. Általánosítás több tényezőre
      1.4. Lineáris transzformációk tenzori szorzata
   2. Permutációk
      2.1. Permutációcsoportok
      2.2. Ciklusok
      2.3. Transzpozíciók, paritás
   3. Külső szorzat
      3.1. Szimmetriaosztályok, vektorterek külső szorzata
      3.2. A külső szorzattér dimenziója
      3.3. Ferdén szimmetrikus multilineáris leképezések
      3.4. Operátor külső hatványa, determináns
   4. Algebrai adjungált
      4.1. Kapcsolat a külső szorzatterek között
      4.2. Operátor algebrai adjungáltja
      4.3. Az algebrai adjungált tulajdonságai
V. Mátrixok
   1. Lineáris transzformáció mátrixa
      1.1. A mátrix fogalma
      1.2. Transzformáció mátrixa, műveletek
      1.3. Báziscsere
   2. Külső szorzattereken értelmezett operátorok mátrixai
      2.1. Mátrix determinánsa
      2.2. Lineáris transzformáció adjungáltjának mátrixa
      2.3. Operátor külső hatványának mátrixa
      2.4. Az algebrai adjungált mátrixa
      2.5. Kifejtési tétel, invertálhatóság
   3. Mátrixok rangszámtétele
      3.1. Vektorrendszer rangja
      3.2. A rangszámtétel
   4. Lineáris egyenletrendszerek
      4.1. A megoldhatóság kritériuma
      4.2. Az összes megoldás meghatározása
     4.3. Cramer-szabály
VI. Véges dimenziós vektortér operátorainak osztályozása, operátorok
              kanonikus mátrixai
   1. Minimálpolinomok
      1.1. Operátor minimálpolinomja
      1.2. Ciklikus altér, lokális minimálpolinom
      1.3. Legnagyobb lokális minimálpolinom létezése
   2. Ciklikus operátorok
      2.1. Minimálpolinomjaikkal történő jellemzésük
      2.2. Ciklikus operátor klasszikus kanonikus mátrixa
   3. Az operátorok osztályozása
      3.1. Operátor ciklikus operátorok direkt összegére való felbontása
      3.2. Operátor multiplicitása
      3.3. Polinommátrixok
      3.4. Operátor invariáns faktorai, osztályozás
   4. Kanonikus mátrixok
      4.1. Operátor Jordan mátrixa és klasszikus kanonikus mátrixa
      4.2. Sajátérték, sajátvektor, gyökvektor
VII. Euklideszi és unitér terek
   1. Belső szorzatterek, normált terek
      1.1. Belső szorzat, ortonormált bázis
      1.2. Normált tér
      1.3. Lineáris funkcionálok, adjungálás, ortogonális komplementer belső
            szorzatterekben
   2. Normális operátorok
      2.1. Általános jellemzés
      2.2. Spektrális felbontás unitér terekben
      2.3. Spektrális felbontás euklideszi terekben
   3. Pozitív operátorok
      3.1. Spektrális jellemzés
      3.2. Belső szorzatterek külső hatványai
      3.3. Pozitív definit mátrixok
VIII. Másodrendű hiperfelületek euklideszi pontterekben
   1. Euklideszi pontterek
   2. Másodrendű hiperfelületek, főtengelytranszformáció
   3. A másodrendű görbék és felületek osztályozása
Név és tárgymutató
Irodalomjegyzék

Ajánlott könyvek