Algebra II.

Ez a tankönyv a Nemzeti Tankönyvkiadó gondozásában 2000-ben megjelent ALGEBRA I. című tankönyv folytatása. Ennek megfelelően elsődlegesen az Eötvös Loránd Tudományegyetem másodéves matematikus és alkalmazott matematikus hallgatói számára készült, e szakoknak a tematikáját követi; vagyis a különböző (absztrakt) algebrai struktúrákkal foglalkozik. E könyv anyagának és módszereinek a
tanulmányozásához megfelelő alapot ad az első kötet; noha annak ismerete itt nem feltétlenül szükséges. Igaz, hogy egyes tételeket itt nem bizonyítunk be ismételten.
Ez a könyv bevezető jellegű, tehát egyik struktúrafajtát sem vizsgálja részletesebben.
Bevezető jellegű algebrajegyzet és -tankönyv Magyarországon (is) igen sok van; ezekről az irodalomjegyzékben adunk tájékoztatást. A felsoroltak mindegyike más és más felfogásban tárgyalja a fenti tananyagot, ezért nem lehet ezen tankönyveket rangsorolni; tulajdonképpen jól kiegészítik egymást. Tekintettel arra, hogy az idézett tankönyvhöz képest itt is lényeges változtatásokat éreztem szükségesnek, ezért nem tartottam volna jónak a fenti tankönyv újabb – lényegében változatlan – kiadását. Nem változtattam a könyv „szellemén”, a tananyagot is főleg bővítettem.
Igen lényeges különbség található a két könyv szerkezetében.
Az egész kötetet öt nagyobb részre osztottam fel. Az első résznek a címe: Alapfogalmak. Ide soroltam azokat a fogalmakat és ismereteket, amelyek egyik későbbi struktúrafajtához sem kapcsolhatók külön. Ennek következtében az itteni fogalmak nincsenek is konkrét példákkal megvilágítva. Célszerű, hogy az első rész tüzetes átolvasása csak akkor történjen meg, ha valahol később ezekre az ismeretekre szükség van. Ezt utalások, illetve a nevek jelzik. Az algebrában is, mint bármely matematikai ágazatban az okoz gondot, hogy a fogalmak csak apéldák után érthetők meg, viszont a példák megadásánál szükség van a pontos fogalmakra. (Ezért szokták a jobb képességű hallgatók egy-egy tárgy lehallgatása után azt mondani, hogy most kellene ismét felvenni ezt a tárgyat.) A második rész olyan struktúrákkal foglalkozik, amelyek egyetlen kétváltozós művelet segítségével definiálhatók; nevezetesen egy rövid félcsoport-elméleti bevezetés után a csoportelmélettel. A harmadik rész tárgya a kommutatív gyűrűk elmélete. Itt a polinom-gyűrűk megértését célzó rész, valamint az egyenletekkel foglalkozó (és ehhez kapcsolódó) részek szerepelnek. A negyedik rész témája az algebrák (az ilyen nevű algebrai struktúrák). Itt a modulusok általánosabb elmélete van (hagyatkozva az első kötetbeli ismeretekre). Az algebrák fontosságát az adja, hogy ezek vektorterek és gyűrűk is egyszerre; és igen sok fontos struktúra algebra. A kommutatív esetben az algebrai egészek, a nemkommutatív esetben a csoportalgebrák vizsgálata a leglényegesebb pont. Az ötödik rész címe: egyéb algebrai struktúrák. Ez a kaleidoszkópszerű „színes forgatag” olyan témákat tartalmaz, amelyek egyrészt a már tárgyalt struktúrák „mögé” tekintenek, másrészt kapcsolatot teremtenek „nem algebrai” ágakkal. E könyvben sokkal több feladat szerepel, mint az Általános algebra c. tankönyvemben. Ezek a feladatok részben az idézett könyv megírása óta eltelt idő „oktatási termékei”, részben e kötet írásakor keletkeztek.