Bevezetés a numerikus matematikába

Tartalomjegyzék

Elõszó 1

Bevezetés 3

1. Lineáris egyenletrendszerek megoldása eliminációs módszerekkel 5

      1.1 Elméleti háttér: lineáris algebrai alapismeretek 5
      1.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval 8
      1.3 Mátrixok invertálása Jordan eliminációval 19
      1.4 Mátrixok Cholesky felbontása 25

2. Mátrixok sajátértékeinek meghatározása 33

      2.1 Elméleti háttér: a sajátértékfeladat 33
      2.2 Mátrixok unitér hasonlósága felülrõl trianguláris alakra 36
      2.3 Sajátértékek eloszlása és korlátai 43
      2.4 A hatványiteráció 46
      2.5 Az RHR-algoritmus 51

3. Lineáris egyenletrendszerek megoldása iterációs módszerekkel 57

      3.1 Elméleti háttér: vektornormák és indukált mátrixnormák 57
      3.2 Vektor- és mátrixsorozatok konvergenciája 64
      3.3 A Jacobi- és a (Gauss--)Seidel iteráció 71

4. Nemlineáris egyenletek megoldása iterációval 83

      4.1 Elméleti háttér: polinomok zérushelyei 83
      4.2 Polinomok zérushelyeinek korlátai 88
      4.3 A Newton--Raphson iteráció 92

5. Függvények közelítése interpolációval 103

      5.1 Lagrange interpolációs formulája 103
      5.2 Osztott- és véges differenciák 108
      5.3 Newton interpolációs formulái 114
      5.4 Hermite interpolációs formulái 118

6. Numerikus integrálás és differenciálás 125

      6.1 Elméleti háttér: a Riemann integrál 125
      6.2 Interpolációs kvadratúraformulák 127
      6.3 Newton--Cotes kvadratúraformulák 132
      6.4 Integrálok súlyfüggvénnyel, általánosított kvadratúraformulák és ortogonális polinomrendszerek 143
      6.5 Gauss-típusú kvadratúraformulák 152
      6.6 Numerikus differenciálás 162

7. Függvények közelítése a legkisebb négyzetek módszerével 169

      7.1 Függvények legjobb diszkrét négyzetes közelítése 169
      7.2 Periodikus függvények legjobb diszkrét négyzetes közelítése 178
      7.3 A diszkrét Fourier transzformáció és inverze 185

Irodalomjegyzék 191

Név- és tárgymutató 193