Bevezetés a számelméletbe

 Előszó i
Tartalom iii
0. Algebrai alapismeretek 1
I. Oszthatóság integritástartományokban. Egységek.
                  Prím és irreducibilis elemek 7
      1. Oszthatóság 7
      2. Legnagyobb közös osztó 11
      3. Irreducibilis és prím elemek 14
      4. Irreducibilis faktorizáció 16
      5. Prímfaktorizáció 17
      6. Főideálgyűrű 18
      7. Euklideszi gyűrű 20
      8. Feladatok 24
II. Kongruenciák 27
      1. Kétismeretlenes lineáris egyenletek megoldása euklideszi gyűrűkben 27
      2. Kongruenciák euklideszi gyűrűkben 29
      3. Modulo m maradékosztály-gyűrű 31
      4. Euler-Fermat-tétel 33
      5. Euler-Fermat-tétel elemi úton 35
      6. Lineáris kongruencia-rendszerek 37
      7. Wilson tétele 43
      8. Magasabbfokú kongruenciák 44
      9. Test fölötti polinom különböző gyökeinek száma 48
      10. Feladatok 50
III. Számelméleti függvények 53
      1. Multiplikatív és gyengén multiplikatív függvények 53
      2. Összegezési függvény 57
      3. Megfordítási függvény. Számelméleti függvények konvolúciója 59
      4. Feladatok 64
IV. A tökéletes számok. Barátságos számpárok. Fibonacci- és Lucas-számok 67
      1. Páros tökéletes számok 67
      2. Páratlan tökéletes számok 70
      3. Többszörösen tökéletes számok 71
      4. Barátságos számpárok 71
      5. Fibonacci- és Lucas-számok 72
      6. Feladatok 75
V. Primitív gyök 77
      1. A primitív gyök ekvivalens definíciói 77
      2. Primitív gyök létezése modulo p 78
      3. Primitív gyök létezése modulo pe és modulo 2pe 79
      4. Nincs primitív gyök modulo 2e, ha e>2 82
      5. Mely modulusokra létezik primitív gyök és melyekre nem? 84
      6. Indexek modulo m, ha m=pe, 2pe és p páratlan prím 84
      7. Feladatok 85
VI. Négyzetes maradékok 87
      1. Legendre-szimbólum 87
      2. A négyzetes reciprocitás-tétel 90
      3. A Jacobi-szimbólum 96
      4. Feladatok 97
VII. Természetes számok felbontása négyzetszámok összegére 99
      1. Pythagoraszi számhármasok 99
      2. A Fermat-sejtés n=4 esetén 101
      3. 4k+1 alakú prímszámok előállítása két négyzetszám összegeként 103
      4. Lagrange tétele 106
      5. Waring problémakör 109
      6. Feladatok 109
VIII. Elemi prímszámelmélet 111
      1. Végtelen sok prímszám létezik 111
      2. A prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens 113
      3. Dirichlet tétele 115
      4. A prímszámok eloszlásáról 115
IX. Lánctörtek 119
      1. Véges lánctörtek 119
      2. Végtelen lánctörtek 121
      3. Irracionális számok közelítése racionális számokkal 126
      4. Periodikus lánctörtek 128
      5. Pell-egyenlet 128
      6. Feladatok 128
X. Algebrai számtestek, kvadratikus testek 131
      1. Algebrai számtestek. Algebrai egészek 131
      2. Kvadratikus testek. A kvadratikus testek egész elemei 137
      3. Norma a kvadratikus testekben 139
      4. Egységek, prím- és irreducibilis elemek kvadratikus testekben 140
      5. Euklideszi és prímfaktorizációs kvadratikus testek 143
      6. A Q(i) test 145
      7. A Q(a) test (a2 = -3) 147
      8. A Q(b) test (b2 = 5)147
      9. Alkalmazás: Lucas-teszt a Mersenne-számok prímtesztelésére 150
      10. Feladatok 153
XI. Transzcendens számok, Hilbert hetedik problémája 155
      1. Rövid történeti áttekintés 155
      2. Liouville tétele 156
      3. Az e és a transzcendens számok 158
XII. A számelmélet és a számítógép 163
      1. Az RSA módszer 164
      2. Prímteszt, összetettségi teszt 166
      3. Fermat-álprímek 167
      4. Carmichael-számok 167
      5. Euler-álprímek 168
      6. Dörzsölt álprímek 168
      7. Miller és Lenstra prímtesztje 169
      8. A Fermat-tétel Lehmer-féle megforditása 169
      9. Fermat-számok, Pepin tétele 170
      10. A Fermat-tétel Lehmer-féle megfordításának gyengített alakja 171
      11. Faktorizáció 172
Függelék 175
      1. Az 1000-nél kisebb prímszámok és legkisebb primitiv gyökeik 175
      2. Indextáblázatok 176
Jelölések 179
Név és tárgymutató 181
Irodalomjegyzék 183