Komplex függvénytan

Tartalomjegyzék
Előszó 1
I. Elemi függvénytan 3
       1. Komplex számok és számsorozatok. 3
       2. Riemann-féle számgömb. Sztereografikus vetítés. 6
       3. Lineáris függvények. 9
       4. A Bolyai--Lobacsevszkij-féle (nem-euklidesi) sík Poincaré-féle modellje. 18
       5. Ponthalmazok, tartomány. 22
       6. Komplex változós függvény folytonossága és differenciálhatósága. 24
       7. Cauchy--Riemann-féle differenciálegyenletek, Laplace-féle differenciálegyenlet. 26
       8. Holomorf függvény által létesített leképezés. 28
       9. Hatványsor konvergenciaköre. 29
       10. Hatványsor összegfüggvényének tulajdonságai. 33
       11. Az exponenciális és a trigonometrikus függvények és inverzeik. 36
       12. Riemann-felületek. 41
II. Integráltételek 43
       1. A görbementi integrál fogalma. 43
       2. Cauchy-féle integráltétel. 47
       3. A Cauchy-féle integráltétel egyszerű következményei és kiterjesztései. 53
       4. Az integrál mint a felső határ függvénye, primitív függvény. 56
       5. Cauchy-féle integrálformula. 61
III. Az integrálformula első fontos következményei 64
       1. Holomorf függvény Taylor-sorba fejthető, integrálformulák a differenciálhányadosokra. 64
       2. Holomorf függvény zéróhelyei. 67
       3. Cauchy-féle egyenlőtlenségek, Liouville tétele, az algebra alaptétele. 68
       4. A maximum-tétel. 71
       5. Hadamard háromkör-tétele. 72
       6. A maximum-tétel egyéb következményei. 75
       7. Morera tétele. 78
       8. Holomorf függvények egyenletesen konvergens sorozatai. 80
IV. Laurent-sor, szinguláris helyek, Rouché tétele 83
       1. Laurent-sor. 83
       2. A Taylor- és Laurent-félékkel rokon típusú sorfejtések. 86
       3. Az izolált szinguláris helyek osztályozása. 89
       4. A függvény főrésze, parciális törtekre bontás, meromorf függvények. 92
       5. A függvény viselkedése a végtelen távoli pontban. 93
       6. Reziduum-tétel. 95
       7. A logaritmikus differenciálhányados, zéróhelyek és pólusok száma. 97
       8. Rouché tétele. 100
       9. Holomorf függvény inverze. 103
V. A reziduumszámítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására 109
       1. ,  110
       2. Fresnel-féle integrálok 113
       3. További példák 116
       4. Integrálok exponenciális függvényekkel. 123
       5. Néhány további feladat. 126
VI. Parciális törtek összegére és gyöktényezők szorzatára való felbontások 127
       1. A cotg π z függvény felbontása parciális törtek összegére. 127
       2. Mittag-Leffler tétele meromorf függvények parciális törtekre bontásáról. 131
       3. Alkalmazás a cotg π z függvény esetére. 134
       4. Egész függvények szorzatelőállítása véges sok zéróhely esetén. 136
       5. Egész függvények szorzatelőállítása végtelen sok zéróhely esetén: Weierstrass tétele. 138
       6. Gamma-függvény. 145
       7. A Weierstrass-féle szigma- és pé-függvény. 152
       8. Elliptikus függvényekre vonatkozó egyszerű tételek. 157
VII. Konformis leképezések 163
       1. Egyrétű függvények. 163
       2. Schwarz-féle lemma és egyszerű következményei. 164
       3. Holomorf függvények korlátos sorozatainak egyenletes konvergenciájára vonatkozó tétel. 167
       4. Vitali--Montel-féle kiválasztási tétel. 169
       5. A konformis ábrázolás alaptétele, visszavezetés korlátos tartomány esetére. 171
       6. Bizonyítás korlátos tartomány esetében. 173
Irodalomjegyzék 177
Függelék 179
       1. Valós számok. 179
       2. Komplex számok. 183
       3. Görbék. 190
       4. Riemann--Stieltjes integrál. 197
       5. Görbe menti integrál. 205
       6. Kontúrok. 209
       7. Az integrálról szóló fő tételek általános alakja. 222
       8. Egyszeresen összefüggő tartományok. 231
       Irodalomjegyzék a függelékhez 243