Bevezetés a többváltozós komplex függvénytanba

Tartalomjegyzék i
Előszó 1
1. Kétváltozós függvények 7
    1.1 Kétváltozós hatványsorok 7
    1.2 Reinhardt-tartományok 8
    1.3 Gyök-kritérium 10
    1.4 Logaritmikus konvexitás 11
    1.5 Cauchy--Hadamard-formula 12
    1.6 Parciális holomorfia 14
    1.7 Kétváltozós Cauchy-integrálformula 15
    1.8 Taylor-formula 17
    1.9 Osgood tétele 18
    1.10 Szubharmonicitás 20
    1.11 Vitali-típusú tétel felülről korlátos szubharmonikus függvénysorozatokra 22
    1.12 Hartogs tétele 24
2. Gateaux-holomorfia normált tereken 29
    2.2 Identitástétel 31
    2.3 Általánosított Morera-tétel 32
    2.4 Weierstrass konvergencia-tétele 33
    2.5 Liouville tétele 35
    2.6 Maximum-elvek 37
    2.7 Schwarz-lemma 38
3. Vektorpolinomok, Weierstrass- és Fréchet-holomorfia normált terekben 41
    3.2 Multilineáris formák 41
    3.3 Polinomiális leképezések 44
    3.4 Multilineáris formák folytonossága 47
    3.5 Polinomok folytonossága 50
    3.6 Fréchet- és Weierstrass-holomorfia 51
    3.7 A három holomorfiatípus viszonya 53
    3.8 Hatványsor deriváltja 55
    3.9 Az invertálás Weierstrass-holomorfiája 57
    3.10 Összetett leképezések holomorfiája 59
4. Holomorfia Banach-terekben 61
    4.1 Korlátos Gateaux-holomorfia és Fréchet-holomorfia 62
    4.2 Fréchet-holomorfia és magasabb deriválhatóság 64
    4.3 A Banach-térbeli holomorfia alaptétele 65
    4.4 Cauchy-becslések 67
    4.5 Holomorf leképezés Taylor-sora 70
    4.6 A deriváltak lokálisan egyenletes konvergenciája 72
    4.7 Inverzleképezés-tétel, biholomorfia 72
    4.8 Cartan unicitástétele 74
    4.9 Korlátos lokálisan egyenletes konvergencia, Vigué tétele 75
    4.10 Holomorf leképezéscsaládok Cauchy-integráljai 77
    4.11 Holomorf függvény rekonstrukciója vetületekből, Zorn tétele 79
    4.12 Parciális holomorfia 83
5. Kiterjesztési tételek 85
    5.2 Hartogs-csövek 86
    5.3 Riemann 2-kodimenziós kiterjesztési tétele 89
    5.4 Riemann 1-kodimenziós kiterjesztési tétele 92
    5.5 Lokálisan holomorf kiterjesztés, holomorfia-tartományok 93
    5.6 Hartogs-konvexitás 96
    5.7 Holomorf-konvexitás 99
    5.8 Cartan--Thullen-tétel véges dimenzióban 101
    5.9 Pszeudokonvexitás, Levi-tétel 105
6. Többrétű tartományok 109
    6.1 Többértékű holomorf függvények 109
    6.2 Többrétű tartományok 111
    6.3 Holomorf kiterjesztés görbék mentén, függvénycsalád kanonikus holomorfia-tartománya 115
    6.4 Többrétű tartományok morfizmusai, holomorfia-burkolói 121
    6.5 Többrétű tartományok közti holomorf leképezések holomorf kiterjesztései 125
7. Invariáns távolságok 131
    7.1 A Bolyai-sík Poincaré-féle modellje 131
    7.2 A Poincaré-féle metrika 135
    7.3 Egydimenziós tartományok holomorf geometriája 138
    7.4 Carathéodory- és Kobayashi-féle távolságok 140
    7.5 Komplex geodetikusok, Lempert tétele 143
    7.6 Carathéodory- és Kobayshi-féle differenciálmetrikák 145
    7.7 Korlátos tartományok, Earl--Hamilton-fixponttétel 151
8. Három klasszikus gömb 155
    8.1 Homogén egységgömbök 155
    8.2 C(Omega) egységgömbje 156
    8.3 Komplex euklideszi tér egységgömbje 157
    8.4 Az NxN-es mátrixalgebra egységgömbje 159
9. Függelék: Előismeretek 163
    9.1 Alapvető jelölések, konvenciók 163
    9.2 Egydimenziós holomorfia 164
    9.3 Differenciálhatóság véges dimeziós vektorterekben 165
    9.4 Normált terek lineáris leképezései 166
    9.5 Differenciálhatóság normált terekben 168
    9.6 Teljes metrikus terek 170
    9.7 Banach-terek 171
    9.8 Vektorértékű Cauchy-integrál 171
Irodalomjegyzék 175
Név- és tárgymutató 177